Apple Bread 2

Clearly at each step, we add \(K\) points and eleminate \(K-1\) points. So we have a total growth of \(1\) point at each step.

set.seed(2005)
library(ggplot2)

## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 4.3.3

library(tidyverse)

## ── Attaching core tidyverse packages ──────────────────────── tidyverse 2.0.0 ──
## ✔ dplyr     1.1.4     ✔ readr     2.1.4
## ✔ forcats   1.0.0     ✔ stringr   1.5.1
## ✔ lubridate 1.9.3     ✔ tibble    3.2.1
## ✔ purrr     1.0.2     ✔ tidyr     1.3.0
## ── Conflicts ────────────────────────────────────────── tidyverse_conflicts() ──
## ✖ dplyr::filter() masks stats::filter()
## ✖ dplyr::lag()    masks stats::lag()
## ℹ Use the conflicted package (<http://conflicted.r-lib.org/>) to force all conflicts to become errors

library(viridis)

## Loading required package: viridisLite

library(gganimate)

## Warning: package 'gganimate' was built under R version 4.3.3

library(gifski)

## Warning: package 'gifski' was built under R version 4.3.3

ACM <- function(n, k)
{
  A <- c(0)
  An <- c(0)
  for (i in 1:n)
  {
    for (j in 1:k) 
    {
      newpoints <- c()
      for (element in A) 
      {
        if (!(element+1) %in% A)
        {
          newpoints <- append(newpoints,(element+1))
        }
        if (!(element-1) %in% A)
        {
          newpoints <- append(newpoints,(element-1))
        }
      }
      A <- append(A, sample(newpoints, 1))
    }
    A <- A[-sample(1:length(A), (k-1))]
    An <- append(An, A)
  }
  return(An)
}

xlist <- function(n)
{
u <- c(0)
for (i in 1:n)
{
  for (j in 1:(i+1)) 
  {
    u <- append(u, i)
  }
}
return(u)
}

ACM_data <- data.frame(xval = xlist(100), yval = ACM(100,3))
ACM_plot <- ggplot(data = ACM_data) + geom_point(mapping = aes(x = xval, y = yval), size = 0.5) + transition_states(xval) + ease_aes('cubic-in-out') 
animate(ACM_plot, fps = 5.5)

L_An = function(n)
{
  dist <- c(0)
u <- ACM(n,3)
for (i in 1:n) 
{
 v <- c()
 for (j in (((i*(i+1)/2)+1):((i+2)*(i+1)/2))) 
 {
   v <- append(v, u[j])
 }
 w <- sum(diff(sort(v))-1)
 dist <- append(dist, w)
}
return(dist)
}
L_An(1000)

##    [1] 0 0 1 2 0 2 3 3 1 2 2 2 2 2 2 1 2 3 3 3 3 2 1 2 3 3 4 5 4 1 2 2 2 3 3 3 3
##   [38] 2 2 2 2 2 3 4 4 4 3 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 2 4 3 3 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 5 4 3
##   [75] 3 4 2 3 3 4 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 4 4 4 4 3 4 5 6 6 5 4 3 2 3 3 3 4 4 3 3 3
##  [112] 4 3 4 4 3 3 3 4 4 4 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 3 3 3 2 2 3 3 2 2 2 3 2 2 3 3 3 3
##  [149] 3 2 3 3 2 3 3 3 3 1 2 2 3 2 2 2 2 3 3 3 3 2 3 4 2 3 2 2 2 3 3 4 3 3 4 3 2
##  [186] 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 4 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3
##  [223] 2 3 4 4 3 4 4 3 3 3 3 4 3 3 3 2 4 4 6 7 8 7 6 6 6 5 5 5 4 4 4 3 2 4 3 3 2
##  [260] 2 3 3 3 5 4 4 4 3 3 3 3 4 3 3 3 2 2 3 3 3 2 3 2 2 4 4 4 4 4 4 3 3 2 2 2 4
##  [297] 3 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 5 4 4 3 3 4 3 3 2 3 4 4 4 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 5 4 5
##  [334] 5 4 4 3 2 3 3 2 2 2 2 2 4 4 3 3 3 4 4 4 4 4 3 2 2 3 3 2 2 2 3 4 3 4 3 4 4
##  [371] 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 2 2 2 4 3 3 3 2 2 3 3 4 4 4 4 5 6 6 5 5 4 4 4 3
##  [408] 4 3 4 4 4 5 4 4 4 4 4 5 5 4 4 3 3 2 3 3 4 4 3 3 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 3 2 3
##  [445] 3 3 2 3 2 3 2 2 2 2 3 4 4 4 3 3 3 2 3 3 3 4 4 3 2 2 2 3 3 4 3 3 3 4 3 2 2
##  [482] 3 3 2 3 4 4 3 4 4 4 5 6 5 5 4 4 5 6 6 5 4 4 3 2 2 3 3 4 4 3 3 2 2 1 2 2 3
##  [519] 4 2 4 4 3 3 3 3 3 2 4 4 4 4 5 4 4 3 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2
##  [556] 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 3 2
##  [593] 2 3 4 4 3 2 2 4 3 4 5 4 4 4 3 4 4 4 4 3 4 3 3 3 3 4 4 3 5 5 5 5 5 5 5 4 3
##  [630] 2 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3 3 5 4 3 4 4 5 4 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 2 3 4 4 4 4 3
##  [667] 3 3 3 3 3 5 4 3 3 4 3 3 3 4 3 3 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 3 3 3 3 3 2 2 3 3 3 2
##  [704] 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 3 4 4 3 3 3 2 2 2 2 3 4 3 4 4 3 4 3 4 4 3 2 2 2 2 2 2
##  [741] 2 1 2 3 3 3 4 4 4 3 3 4 4 3 3 3 2 2 3 3 3 3 4 3 4 5 5 5 5 5 6 7 6 5 4 5 4
##  [778] 3 2 2 4 3 2 3 3 3 3 3 3 2 3 3 4 4 4 4 4 3 3 5 5 6 6 5 4 4 3 3 2 2 2 3 3 3
##  [815] 3 4 4 3 4 3 4 3 3 5 4 5 5 4 4 4 3 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2
##  [852] 2 3 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 4 4 6 5 5 4 3 2 3 3 3 4 4 3 3 3 4 4 4 4 5 5 4 3 2
##  [889] 3 4 3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 3 2 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 5 5 5 4 3 2 2 2 3 3 3
##  [926] 3 4 3 4 4 4 3 2 3 3 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 4 3 2 2 2
##  [963] 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 3 4 5 4 4 3 3 3 3 3 4 4 4 5 5 4 3 4 4 4 3 3 4 4 4 4 3
## [1000] 3 2

Ln <- function(n)
{
dataset<-(replicate(100,L_An(n)))
finaldata <- c()
for (i in 1:(n+1)) 
{
  finaldata <- append(finaldata, mean(dataset[i,]) )
}
return(finaldata)
}
Ln(1000)

##    [1] 0.00 0.59 1.10 1.59 1.65 1.92 2.17 2.32 2.37 2.40 2.53 2.69 2.57 2.60
##   [15] 2.75 2.73 2.72 2.93 2.86 2.64 2.94 2.96 2.99 2.78 2.71 2.92 2.88 2.93
##   [29] 2.88 2.84 2.80 2.73 2.78 2.78 2.88 2.89 3.05 2.99 3.14 3.13 2.99 2.90
##   [43] 2.98 2.94 3.15 3.13 3.15 3.19 3.15 3.09 3.07 3.06 3.13 3.09 3.06 3.05
##   [57] 3.02 3.04 3.08 3.12 3.02 2.96 3.05 2.97 2.99 3.00 3.03 2.97 3.02 3.20
##   [71] 3.16 3.15 3.09 3.13 3.11 3.06 3.12 3.06 3.09 3.11 3.16 3.23 3.16 3.06
##   [85] 3.05 2.94 2.94 3.04 3.05 2.99 3.10 3.09 3.04 3.13 3.22 3.11 3.10 3.11
##   [99] 3.04 3.03 3.16 3.14 3.23 3.15 3.09 3.25 3.20 3.13 3.13 3.08 3.04 3.23
##  [113] 3.17 3.21 3.27 3.25 3.12 3.12 3.06 3.11 3.21 3.21 3.29 3.20 3.16 3.23
##  [127] 3.15 3.15 3.12 3.16 3.19 3.17 3.17 3.11 3.11 3.10 3.16 3.20 3.18 3.25
##  [141] 3.29 3.25 3.11 3.19 3.15 3.14 3.11 3.21 3.09 3.08 3.15 3.12 3.14 3.23
##  [155] 3.29 3.06 2.94 2.94 2.96 3.06 3.07 3.20 3.14 3.17 3.12 3.09 3.06 3.10
##  [169] 3.22 3.17 3.28 3.29 3.29 3.13 3.20 3.13 3.18 3.11 3.18 3.26 3.11 3.09
##  [183] 3.19 3.09 3.11 3.19 3.21 3.18 3.10 3.12 2.99 3.03 3.03 3.00 3.07 3.16
##  [197] 3.04 3.14 3.12 3.15 3.15 3.17 3.11 3.10 3.05 3.10 3.21 3.29 3.32 3.25
##  [211] 3.39 3.44 3.29 3.37 3.32 3.37 3.44 3.32 3.29 3.40 3.29 3.23 3.21 3.14
##  [225] 3.09 3.02 3.16 3.15 3.13 3.02 3.04 3.04 3.02 3.16 3.20 3.29 3.24 3.30
##  [239] 3.18 3.08 3.16 3.16 3.10 3.08 3.19 3.25 3.21 3.25 3.27 3.26 3.37 3.38
##  [253] 3.38 3.36 3.46 3.37 3.27 3.28 3.23 3.09 3.09 3.07 3.16 3.23 3.33 3.40
##  [267] 3.35 3.20 3.18 3.19 3.12 3.05 2.95 3.06 3.07 3.19 3.07 3.17 3.11 3.10
##  [281] 3.04 3.05 3.13 3.23 3.22 3.10 3.09 3.12 3.10 3.21 3.25 3.18 3.13 3.18
##  [295] 3.16 3.28 3.15 3.19 3.29 3.23 3.16 3.17 3.10 3.14 3.21 3.27 3.35 3.26
##  [309] 3.31 3.26 3.21 3.26 3.23 3.25 3.35 3.36 3.19 3.20 3.27 3.33 3.30 3.33
##  [323] 3.20 3.14 3.27 3.18 3.29 3.24 3.34 3.42 3.40 3.43 3.31 3.26 3.25 3.30
##  [337] 3.28 3.33 3.36 3.21 3.05 3.14 3.12 3.11 3.15 3.07 3.21 3.27 3.23 3.18
##  [351] 3.16 3.12 3.19 3.19 3.17 3.23 3.15 3.15 3.17 3.14 3.12 3.09 3.04 3.04
##  [365] 2.95 2.95 3.11 3.05 3.11 3.27 3.15 3.16 3.20 3.22 3.21 3.22 3.20 3.22
##  [379] 3.23 3.22 3.37 3.30 3.34 3.17 3.19 3.22 3.19 3.29 3.34 3.31 3.15 3.16
##  [393] 3.16 3.12 3.22 3.23 3.21 3.25 3.23 3.29 3.24 3.19 3.11 3.13 3.16 3.21
##  [407] 3.22 3.16 3.18 3.18 3.06 3.18 3.26 3.24 3.07 3.05 3.06 3.06 3.01 3.12
##  [421] 3.15 3.15 3.17 3.29 3.30 3.20 3.25 3.28 3.27 3.35 3.27 3.36 3.38 3.36
##  [435] 3.24 3.19 3.15 3.14 3.27 3.22 3.27 3.25 3.28 3.28 3.08 3.18 3.16 3.21
##  [449] 3.09 3.08 3.17 3.21 3.16 3.22 3.13 3.16 3.12 3.13 3.16 3.06 3.02 3.01
##  [463] 3.27 3.13 3.15 3.22 3.23 3.26 3.29 3.21 3.30 3.35 3.36 3.35 3.35 3.35
##  [477] 3.43 3.37 3.46 3.35 3.48 3.38 3.41 3.31 3.32 3.32 3.24 3.12 3.05 3.08
##  [491] 3.19 3.22 3.15 3.18 3.24 3.24 3.21 3.18 3.14 3.18 3.07 3.04 3.04 3.22
##  [505] 3.18 3.13 3.11 3.05 3.01 3.09 3.04 3.10 3.12 3.08 3.11 3.13 3.16 3.09
##  [519] 3.18 3.17 3.10 3.16 3.20 3.15 3.01 3.06 3.07 3.11 3.14 3.29 3.23 3.23
##  [533] 3.26 3.22 3.16 3.09 3.21 3.35 3.30 3.29 3.25 3.13 3.12 3.17 3.16 3.12
##  [547] 3.13 3.13 3.19 3.21 3.28 3.27 3.33 3.34 3.20 3.17 3.23 3.21 3.24 3.25
##  [561] 3.36 3.32 3.25 3.29 3.24 3.20 3.09 3.03 3.01 3.03 3.09 3.14 3.05 3.05
##  [575] 2.96 3.03 3.01 3.05 3.21 3.14 3.09 3.13 3.11 2.99 3.13 3.12 3.13 3.27
##  [589] 3.32 3.28 3.23 3.19 3.31 3.37 3.35 3.30 3.27 3.23 3.20 3.20 3.27 3.29
##  [603] 3.27 3.44 3.25 3.13 3.25 3.28 3.25 3.29 3.15 3.19 3.30 3.24 3.18 3.27
##  [617] 3.24 3.33 3.31 3.19 3.17 3.24 3.24 3.21 3.20 3.09 3.14 3.11 3.18 3.17
##  [631] 3.14 3.13 3.07 3.07 3.05 3.03 3.10 3.06 3.09 3.12 3.03 3.11 3.07 3.27
##  [645] 3.24 3.18 3.15 3.12 3.20 3.22 3.16 3.12 3.06 2.94 2.98 3.00 2.97 2.95
##  [659] 2.89 3.02 3.00 2.99 3.09 3.10 3.16 3.21 3.24 3.35 3.16 3.11 3.19 3.21
##  [673] 3.17 3.28 3.23 3.23 3.21 3.15 3.14 3.09 3.19 3.25 3.14 3.25 3.33 3.36
##  [687] 3.38 3.33 3.28 3.23 3.19 3.05 3.03 3.08 3.05 3.10 3.12 3.22 3.23 3.12
##  [701] 3.14 3.20 3.25 3.26 3.20 3.28 3.12 3.01 3.07 3.06 3.05 3.02 3.15 3.08
##  [715] 3.04 3.14 3.16 3.30 3.30 3.21 3.23 3.26 3.29 3.28 3.29 3.27 3.24 3.26
##  [729] 3.20 3.10 3.19 3.07 3.02 3.03 3.00 2.99 3.00 2.94 3.07 3.10 3.20 3.28
##  [743] 3.14 3.05 3.13 3.15 3.18 3.03 3.12 3.19 3.32 3.27 3.26 3.19 3.19 3.18
##  [757] 3.25 3.29 3.25 3.24 3.20 3.22 3.22 3.29 3.26 3.27 3.26 3.28 3.23 3.26
##  [771] 3.34 3.23 3.19 3.17 3.18 3.12 3.20 3.26 3.14 3.22 3.09 2.99 3.06 3.01
##  [785] 3.13 3.14 3.07 3.11 3.19 3.30 3.18 3.14 3.06 3.08 3.01 2.94 3.04 3.02
##  [799] 3.00 3.08 3.03 3.07 3.03 3.10 3.04 3.06 3.10 3.18 3.20 3.25 3.18 3.13
##  [813] 3.28 3.34 3.32 3.21 3.16 3.21 3.22 3.23 3.25 3.37 3.34 3.35 3.16 3.21
##  [827] 3.31 3.37 3.27 3.26 3.18 3.12 3.17 3.23 3.29 3.22 3.20 3.18 3.29 3.21
##  [841] 3.16 3.14 3.08 3.09 3.20 3.27 3.18 3.17 3.11 3.14 3.17 3.10 3.20 3.18
##  [855] 3.15 3.13 3.01 3.04 3.16 3.23 3.22 3.22 3.21 3.28 3.21 3.21 3.37 3.24
##  [869] 3.25 3.45 3.38 3.25 3.26 3.19 3.16 3.15 3.20 3.20 3.16 3.24 3.14 3.21
##  [883] 3.19 3.25 3.35 3.23 3.21 3.24 3.26 3.33 3.23 3.17 3.17 3.02 3.02 3.05
##  [897] 2.92 2.94 3.03 3.09 3.10 3.05 3.09 3.15 3.07 3.01 3.05 3.04 3.09 3.02
##  [911] 3.06 2.96 2.94 3.04 2.97 3.11 3.13 3.14 3.12 3.07 3.12 3.19 3.30 3.23
##  [925] 3.19 3.14 3.20 3.23 3.19 3.23 3.19 3.19 3.21 3.15 3.25 3.24 3.19 3.01
##  [939] 3.20 3.27 3.32 3.28 3.20 3.17 3.26 3.22 3.19 3.21 3.10 3.20 3.20 3.20
##  [953] 3.19 3.13 3.12 3.16 3.23 3.23 3.11 3.14 3.04 2.95 2.97 3.06 3.08 3.20
##  [967] 3.24 3.22 3.27 3.20 3.21 3.34 3.24 3.19 3.21 3.20 3.23 3.23 3.15 3.27
##  [981] 3.18 3.03 3.03 3.09 3.05 3.01 3.02 3.06 3.06 3.24 3.28 3.20 3.30 3.32
##  [995] 3.31 3.11 3.15 3.13 3.09 3.08 3.16

G_An_2n = function(n)
{
  dist <- c(0)
u <- ACM(n,3)
for (i in 1:n) 
{
 v <- c()
 for (j in (((i*(i+1)/2)+1):((i+2)*(i+1)/2))) 
 {
   v <- append(v, u[j])
 }
 w <- (sum(diff(sort(v))-1)>=2)
 dist <- append(dist, w)
}
return(dist)
}
G_An_2n(1000)

##    [1] 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
##   [38] 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
##   [75] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
##  [112] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
##  [149] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
##  [186] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
##  [223] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
##  [260] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
##  [297] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
##  [334] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
##  [371] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
##  [408] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
##  [445] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
##  [482] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
##  [519] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
##  [556] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
##  [593] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
##  [630] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
##  [667] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
##  [704] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
##  [741] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
##  [778] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
##  [815] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
##  [852] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
##  [889] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
##  [926] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
##  [963] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
## [1000] 1 1

G_2n <- function(n)
{
dataset<-(replicate(100,G_An_2n(n)))
finaldata <- c()
for (i in 1:(n+1)) 
{
  finaldata <- append(finaldata, mean(dataset[i,]) )
}
return(finaldata)
}
G_2n(1000)

##    [1] 0.00 0.13 0.31 0.42 0.53 0.61 0.75 0.71 0.80 0.81 0.83 0.83 0.91 0.91
##   [15] 0.90 0.87 0.88 0.89 0.92 0.91 0.93 0.94 0.92 0.94 0.95 0.95 0.96 0.98
##   [29] 0.95 0.94 0.97 0.94 0.99 0.99 1.00 0.95 0.98 0.98 0.95 0.98 0.98 0.97
##   [43] 1.00 0.98 0.95 0.98 0.97 0.97 0.98 0.99 0.99 0.99 0.99 0.98 0.98 0.98
##   [57] 0.98 0.99 0.98 0.98 0.99 0.98 0.97 0.98 0.98 0.99 0.97 0.99 1.00 0.99
##   [71] 0.99 0.99 0.99 1.00 0.99 0.98 0.98 0.99 1.00 1.00 1.00 0.99 0.99 0.98
##   [85] 1.00 0.99 0.98 0.98 0.99 0.99 1.00 0.99 0.98 1.00 0.98 1.00 0.99 0.99
##   [99] 1.00 0.98 1.00 1.00 0.99 0.98 0.95 0.98 0.99 0.98 0.98 1.00 1.00 0.98
##  [113] 0.99 1.00 0.99 0.99 0.99 0.98 0.97 1.00 1.00 0.98 1.00 0.98 0.99 0.99
##  [127] 1.00 1.00 1.00 0.98 0.99 0.97 1.00 1.00 0.99 1.00 0.98 0.99 0.98 0.98
##  [141] 0.99 0.99 1.00 0.99 1.00 1.00 0.99 0.99 1.00 0.99 1.00 0.99 0.99 0.99
##  [155] 0.98 1.00 1.00 0.99 0.99 1.00 1.00 0.98 1.00 0.99 1.00 0.98 1.00 0.99
##  [169] 0.99 1.00 0.99 0.99 1.00 0.99 1.00 0.98 1.00 0.98 0.99 1.00 1.00 1.00
##  [183] 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99 0.99 0.99 0.99 1.00 1.00 1.00 0.99 1.00
##  [197] 0.99 1.00 0.99 1.00 1.00 0.99 0.99 0.99 1.00 1.00 0.98 0.99 1.00 1.00
##  [211] 1.00 1.00 0.99 1.00 0.99 0.99 1.00 1.00 0.99 0.99 1.00 0.98 0.99 0.99
##  [225] 0.99 1.00 0.98 0.99 1.00 0.98 1.00 1.00 1.00 0.99 1.00 1.00 0.99 0.99
##  [239] 0.98 1.00 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 0.97 0.99
##  [253] 0.98 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
##  [267] 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00 0.99
##  [281] 0.99 0.99 1.00 1.00 0.97 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
##  [295] 0.97 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
##  [309] 0.99 1.00 0.98 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
##  [323] 1.00 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99 0.99 1.00 1.00 0.99 1.00 1.00
##  [337] 1.00 0.99 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
##  [351] 1.00 1.00 0.99 1.00 0.99 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 0.98 1.00 1.00 1.00
##  [365] 0.99 0.99 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99 1.00 1.00 0.99
##  [379] 1.00 1.00 1.00 0.99 0.99 1.00 1.00 1.00 0.99 0.97 1.00 1.00 1.00 1.00
##  [393] 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99 1.00
##  [407] 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99 1.00
##  [421] 1.00 1.00 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99
##  [435] 1.00 1.00 0.99 0.98 0.99 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
##  [449] 0.99 0.99 1.00 1.00 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
##  [463] 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99 1.00 0.99
##  [477] 0.98 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00
##  [491] 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99
##  [505] 1.00 1.00 0.99 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
##  [519] 0.99 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
##  [533] 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99 1.00 0.99 1.00 0.99 1.00 1.00
##  [547] 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
##  [561] 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99 1.00 0.99 1.00
##  [575] 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.98 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99 1.00 0.99
##  [589] 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.98 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99
##  [603] 1.00 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
##  [617] 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00
##  [631] 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99
##  [645] 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99 0.99 1.00 1.00 0.99 1.00 0.99 1.00
##  [659] 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99
##  [673] 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00
##  [687] 1.00 0.99 0.99 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99 1.00 1.00
##  [701] 1.00 1.00 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
##  [715] 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99 1.00 0.98 1.00
##  [729] 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
##  [743] 0.99 1.00 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99
##  [757] 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
##  [771] 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00
##  [785] 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
##  [799] 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99 0.99 0.99 1.00
##  [813] 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
##  [827] 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99
##  [841] 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
##  [855] 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
##  [869] 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99 1.00 0.99 1.00 0.99
##  [883] 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99 0.98 1.00 1.00 0.99 1.00 1.00
##  [897] 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99 1.00 1.00
##  [911] 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
##  [925] 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99 1.00 0.99 1.00 0.99
##  [939] 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
##  [953] 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
##  [967] 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
##  [981] 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00
##  [995] 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99

From the reference [EW99], we notice that \[ \limsup_{n\to\infty}\frac{L(A_n)}{\frac{\log n}{\log \log n}} = \frac{K-1}{K} \] \(L_n\) being the average of \(L(A_n)\) over trials, it will follow almost similar characteristic as that of \(L(A_n)\), so we have \[ \limsup_{n\to\infty}\frac{L_n}{\frac{K-1}{K} \cdot \frac{\log n}{\log \log n}} = 1 < \infty \implies L_n = O\left(\frac{\log n}{\log \log n}\right) \]

ggplot() + geom_line(mapping = aes(x = 1:1001, y = G_2n(1000)))

Apple Bread 2

Aritrabha Majumdar(BMAT2311)

2024-03-24